"Una elaboración interesante a partir del concepto de probabilidad condicional es el conocido teorema de Bayes, que fue demostrado por primera vez por Thomas Bayes en el siglo XVIII, y constituye la base del siguiente resultado, un tanto sorprendente, con importanes consecuencias para los análisis de SIDA o la detección del consumo de drogas.
Supongamos que haya un análisis para detectar el cáncer con una fiabilidad del 98%; es decir, si uno tiene cáncer el análisis dará positivo el 98% de las veces, y si no lo tienes, dará negativo el 98% de las veces. Supongamos además que el 0,5% de la población -una de cada doscientas personas- padece verdaderamente cáncer.
Imaginemos que uno se ha sometido al análisis y que su médico le informa en tono pesimista qque ha dado positivo. ¿Hasta qué punto ha de deprimirse esa persona? Lo sorprendente del caso es que dicho paciente ha de mantenerse prudentemente optimista. El porqué de este optimismo lo encontramos al determinar la probabilidad condicional de que uno tenga cáncer sabiendo que el análisis ha dado positivo.
Supongamos que se hacen 10.000 pruebas de cáncer. ¿Cuántas de ellas darán positivo? En promedio 9,50 de esatas 10.000 personas (el 0,5% de 10.000) tendrán cáncer, y como el 98% de ellos darán positivo, tendremos 49 análisis positivos. Por otra parte, el 2% de las 9.950 personas restantes, que no padecen cáncer, también darán positivo, con un total de 199 análisis positivos (0,02 . 9.950 = 199). Así, del total de 248 positivos (199 + 49 = 248), la mayoría son falsos positivos, y la probabilidad condicional de padecer el cáncer sabiendo que se ha dado positivo es sólo 49/248, ¡aproximadamente un 20%! (Hay que comparar este porcentaje relativamente bajo con la probabilidad de dar positivo en el supuesto de que se tenga efectivamente el cáncer que, por hipótesi, es del 98%)"
John Allen Paulos (1990). El hombre anumérico. Tusquets Editores (Metatemas, 20)